2008年1月28日（月） 指数関数的な増加

　「指数関数」というコトバをご存知ですか？

　　　一定の比率で，
　　　ものごとの数量が変化（増加・減少）する　

それが「指数関数」的な変化です。

　たとえば，下の図のように一定の比率で増えていく変化
は「指数関数的な増加」です。

　ここでは，「２倍」「２倍」という比で増えています。数字で
書くと「２のn乗」です。「２の２乗」は「４」，「２の３乗」は「８」
……

　ここに１匹の細菌がいて，１時間ごとに分裂して２匹に
増えるとします。

　それが10回分裂したら，１匹→２匹→４匹→８匹→16匹
→32匹→64匹→128匹→256匹→512匹→1024匹……

　10回の分裂で1024匹になります。

　これが20回の分裂だとどうなるでしょうか？
　（あてずっぽうで，ちょっとイメージしてみてください）

　じつは，10回で1000匹くらいだったのが，さらにあと10回
繰り返すと，100万匹を超えるのです。

　この増え方をグラフに描くと，タイトルのグラフのように
なります。

　　　「ある時点あたりから急激に増えている」

という感じがします。 

　社会のできごとは，数や量が一定の比で増えたり減った
りすることが多いです。

　人口もそうですし，経済の成長やものの値段や製品の
生産量も「年に（前の年にくらべて）○％」といった比で
増えたり減ったりするのです。

　資産運用でも，「資産の指数関数的な変化」は，重要
な視点です。資産が増加するとき・減少するときも「年に
○％」という比で変化していきます。

　下のグラフは

　　　「年率10％＝毎年毎年，対前年で10％ずつ
　　　増えていった」

という場合の増加の様子をグラフにしたものです。
 

　
　「年10％」というのは，たとえば高度成長期（1955年頃
～1975年頃）の日本の経済成長率（経済の規模の伸び
方）にだいたい近い数字です。

　出発の年を「１」とした場合，２年目は「1.1」，3年目は
「1.1の1.1倍」で，「1.21」……というふうに増加してい
ます。

　それが50年積み重なると「およそ120」という数字に
なるのです。

　　　　　　　　　　　　　　　　＊

　こうやって説明したりグラフに描いたりしても，やはり
「指数関数」的な変化というのは「実感」としてイメージ
するのがむずかしいところがあります。

　でも，先日友人がこんな話をしていました。

　その人は，最近引っ越しました。新居には小さな庭が
あるので，いろいろ植物を育てるようになったのだそう
です。

　　　「種をまいて，植物の芽がでてくるよね。すると，
　　　しばらくのあいだは，毎日観察していてもなかなか
　　　大きくならない……という感じなんだ」

　　　「それで何日か目を離してしばらくぶりにみてみると，
　　　ぐーんと大きくなっていておどろくことがある。
　　　　たぶん，植物のほうでは，日々同じような〈成長率〉
　　　（比）でもって伸びていると思う。指数関数的に育って
　　　いるということなんだろうね」

　　　「指数関数的に伸びていると，最初はなかなか大きく
　　　なっている感じがしないけど，ある時点からぐーんと
　　　大きくなる手ごたえがあるんだよね……」

　　　「秋田さんも，植物を育ててみると〈指数関数〉的な
　　　変化というものが実感できるよ」

　私も友人も，植物の成長のしくみについて詳しいことを
知っているわけではないので，ほんとうに植物が正確に
指数関数的に成長するのかどうかはわかりません。

　ただ，

　　　「芽が出る」

　　　→「ちょっと目にはなかなか大きくならない」

　　　→「ある時点からぐんぐん成長するという実感が
　　　　はっきりしてくる」

という感覚が，友人の話から伝わってきました。

　それは指数関数的な変化をイメージするうえで手が
かりになる身近な現象かと思います。

　「指数関数的な変化」というメガネでいろいろなものを
みてみるとおもしろいかもしれません。